PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

本文将绍介PageRank算法的有关主题。,详细如次:

1。算法源
2。算法规律
三。算法证明是
价格计算办法
幂迭代法
示性数法
代数法
5.算法实现
本迭代法的复杂实现
5.2 MapReduce实现
算法的缺陷
7。写完
参考资料


1. 算法源

这必然从搜索引擎的开展开端。。最早应用的搜索引擎是 分类学目录[^ref_1] 的办法,换句话说,人工操作分类学网页和一套高品质网站。。那时分 Yahoo 和国际的 hao123 这执意它被应用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工分类学是不现实的。。搜索引擎在。 译文检索 的陈化,换句话说,计算用户查询关键词和Web CONE暗说得中肯相关性。。这种办法溃了量的限度局限。,不过搜索果实挑剔纤细的。。由于老是某些数量网页一来一往骨碌少数指路牌。。

因而笔者的引导将攀登上演。。没错,谷歌的两位创始人,当初,斯坦福大学人员。 (斯坦福大学人员) 大学人员) 仔细思索生的页 (拉里 页) 布林 (波兹南队员克里维茨 布林) 对网页挑选的仔细思索开端。。他们运用学术评价的普通办法对ACA的要紧地位举行了讨论。, 那执意看报纸被援用多少次。。从这角度看法,网页的要紧地位也可以被评价为ACC。。从此处PageRank的小瘤思惟是[^ RefI2]的出现。,这很复杂:

  • 假设网页被多的否则网页勾住,这页就更要紧了。,换句话说,PageRank值将绝对较高。
  • 假设具有高PageRank值的网页勾住到另任何人网页,勾住的网页的PageRank值将响应增进

如次图所示(总的印象图)

总的印象图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]要而言之执意提前的给每个网页任何人PR值(下面用PR值适用于PageRank值),由于PR值是身体检查意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是任何人网页总额。。对立的事物,普通状况下,懂得网页上公关的价格积和为1。。假设挑剔1,那挑剔不会有的的。,最大的,明显的网页暗说得中肯pr值暗说得中肯相干是STI。,它不克不及整齐的传达概率。。

预装置PR值后,,迭代经过下面的算法,直到影响的范围使平滑散布。。

因特网上的多的网页可论点有向图。。下面是任何人复杂的窥测[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

此外C要不是,,B和D有不公正的条链。,从此处,是你这么说的嘛!客套话是不正确的。。承认用户如今阅读B网页。,从此处,下一步他翻开页码或张数或D页是统计法上相像性的的概率。。从此处,A公关的价格必然表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网使联播上不在。,如次图:

sample1

图说得中肯C页心不在焉外链。,无PR值对否则网页的奉献,笔者用不着这无私的网页。 Markov 链收敛,从此处,它为懂得网页创办了任何人链,包罗它自己。,图说得中肯a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

不过让笔者思索备选的状况。:互联网使联播上的网页要不是它自己的连锁店或旅馆系列的事物。,或几页的链形成物任何人成环形。。在延续迭代历程中,这页码或张数或更多页的pr值只会增进。,显然是荒谬的的。。比如,下面的图片说得中肯C页公正的J的网页。:

sample3

为了处理这问题。笔者设想任何人恣意的使联播阅读器。,当他抵达C网页时,显然挑剔傻子地被C的产物困住了。。笔者承认他有必然的可能性,他将进入使联播地址。,跳到每个网页的概率是同样的的。。合乎逻辑的推论是图说得中肯a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通状况下,网页的pr值按如次计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

在位的\(M_{p_{i}}\)是懂得对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是任何人网页\(p_{j}\)输出链数,\(N\)这是任何人网页总额,\(\alpha\)普通采用。
基准下面的客套话,笔者可以计算每个网页公关的价格。,当迭代稳固自负的时,这执意终极果实。。详细来说,方式稳固。,笔者在下面的PR价格计算办法教派改造解说。


3. 算法证明是

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 假设在界限,假设与\(P_0\)选择无干吗?

PageRank算法的合法性包罗以上所述两点[^。为手巧的起见,让笔者先换衣服PR值的计算办法。。

言传身教。

sample3

笔者可以用矩阵来表现链和柴暗说得中肯相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)心不在焉页。\(i\)使联播去世链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)关闭懂得立法机构 1 的列带菌者,后来地限界矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按如次计算,在位的\(P_{n}\)由N个迭代说得中肯每个页公关的价格结合的列带菌者。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

从此处,PR值的计算译成任何人历程。 Markov 历程,后来地将PageRank算法的证明是转变为证明是。 Markov 历程收敛性证明是:假设这 Markov 历程收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它无干。。

假设A Markov 历程收敛,后来地它的财产转变矩阵(A)需求使满足[^ Ref6]:

  1. A是任何人随机矩阵。。
  2. A是不成约的。。
  3. A抵制周期性的。。

先看第某个。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,使满足崇拜者健康状况:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,笔者A矩阵的懂得元素都大于或等同0。,每个列有1个元素。。

次货点,不成约矩阵:方针A是不成约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅关闭每对包装。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的途径。由于笔者在预先阻止设定用户在阅读页的时分有决定概率经过输出网址的方法号召任何人随机网页,从此处,A矩阵也使满足不成约的问。。

第三点,问A抵制周期性的。。同一的周期性,传达在马尔柯夫链的周期性。。假设A是周期性的。,后来地,马尔柯夫链的财产是周期性的。。由于A是素矩阵(素矩阵指使自花授精的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A抵制周期性的。。

这么,证明是了PageRank算法的合法性。。


4. PR价格计算办法

幂迭代法

率先,为每个页分派任何人随机PR值。,后来地经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当使满足以下逆境时,迭代完毕。,获取懂得页公关的价格:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

示性数法

当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的示性数的特征带菌者。 \\
(随机矩阵必不可少的事物具有示性数1)。,本征带菌者的懂得身分均为正或负。
\]

代数法

相像性的,当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
由于 e关闭懂得立法机构 1 的列带菌者,P的懂得身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

本迭代法的复杂实现

用python实现[^ref_7],你需求先装置Python图形小瘤。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的价格。

    def __init__(self, DG)
         =   # 矿井瓦斯系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代假设完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中心不在焉链的包装被换衣服为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((包装)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (包装), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(包装)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (包装)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个包装。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 客套话的(1*a)/n教派

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(包装)):  # 遍历懂得输出页
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[包装] - 技巧水平)  # 有无上权力或权威的
                page_rank[包装] = rank

            邮票(这 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_技巧水平)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    邮票( final page rank is\n", page_ranks)

运行果实:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页暗说得中肯相干从:

begin

迭代的完毕如次:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的小瘤模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让笔者从MapReduce规律的复杂绍介开端。。

同一的的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合说得中肯每个目标应用相像性的的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回任何人综合。

举个典型窥测。:如今有3个译文文件。,有必要计算懂得有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让任何人人顺序阅读这3个文件,每遇到任何人字,看看你以前假设见过面。。词频加上遇到的任何人。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到任何人字,把这单词记下来。:(词语),1)(无论你以前假设遇到过这词),换句话说,可能有多个相像性的的词。。之后,将发送另任何人人来添加相像性的的单词。,终极的果实可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是应用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。假设你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被应用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce办法
        :param i: 需求任何人MapReduce的集合。
        :param mapper: 自限界映射器办法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的任何人列表
        """
        intermediate = []  # 存储懂得(中间的)密钥, intermediate_价格)
        for (钥匙, 价格) in i.items():
            (mapper(钥匙, 价格))

        # 排序返回任何人有序的列表。,由于列表说得中肯元素是元组。,密钥是基准元组说得中肯前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器说得中肯相邻重复元素,并将T,密钥基准前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着相像性的intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_价格)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为懂得对应intermediate_key的intermediate_value
        # 立法机构列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,在位的实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 矿井瓦斯系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代假设完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个使联播图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储页公关的价格
        # graph[i][1] 存放第i使联播去世链量
        # graph[i][2] 存放第i使联播去世链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [包装] = [1.0 / , LeN((包装)), (包装))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_价格):
        """
        查看网页假设有链。,返回值说得中肯 1 心不在焉身体检查意思。,公正的为了在
        MpjRoad说得中肯组字典的密钥仅为1。,响应的值都是挂起的网页。
        公关的价格
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 假设心不在焉去世链,挂网页,后来地回到[(1),这网页公关的价格)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算懂得悬挂网页公关的价格积和
        :param input_key: 基准IPML映射器的返回值,这输出键是:1
        :param input_value_list: 懂得悬挂网页公关的价格
        :return: 懂得悬挂网页公关的价格积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_价格):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],换句话说,这网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的价格), (外链第2页), 出链网页2分得公关的价格)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A懂得分得公关的价格的列表:[,分得公关的价格,分得公关的价格...]
        :param dp: 懂得悬挂网页公关的价格积和
        :return: (页名),计算所得公关的价格)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都需求两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算懂得网页公关的价格
        :return: ,在位的公关的价格已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的价格变化状况,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            邮票(迭代 " + STR(迭代)

            # 由于可能有网页挂起。,这执意为什么笔者有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[懂得悬挂网页公关的价格积和]
            # dp表现懂得悬挂网页公关的价格积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 由于所需的减速器只能有两个参数。,而笔者
            # 需求传3个参数(多了任何人懂得悬挂网页公关的价格积和,换句话说,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是任何人列表。,元素为:(页名),计算所得公关的价格)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算这车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            邮票(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关价格
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

最大的一教派是测试教派。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的办法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    邮票( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作果实:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

以上所述便是PageRank的MapReduce实现。代码说得中肯注释更详细。,这必然很容易理解。。


这是任何人天才算法。,规律复杂,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在少数缺陷。。

第一,站导航链路暗中心不在焉区别。。多的网站有很多勾住到否则网页在他们的主页上。,称为勾住导航勾住。这些勾住与明显的网站暗说得中肯勾住举行比较。,当后来地者更能传递传递相干。。

次货,心不在焉过滤勾住和功能勾住被过滤。(比如,共同分享微博)。。这些勾住通常心不在焉什么实用价格。,前者勾住到广告页。,后者经常勾住到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。任何人新的网页的总入口链绝对较小。,即使它的内容是高品质的。,它仍然需求很长的时间才能译成任何人高PR值页。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福大学人员和雅虎的联合仔细思索。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,人工操作识别高品质页(即种子页)。,由种子页引导的页也可以是任何人高品质的页。,换句话说,它的Tr值也很高。,勾住从种子页越远。,页的TR值越低。。种子页可以选择更多勾住的页。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更正确地判断网页的要紧地位。。


7. 写在最大的

谷歌应用PR值对网页举行分类学。,有0~10级,普通4或以上所述是好主页。。谷歌自己的公关价格是9。,百度也是9。,博客园公关的价格则为6。

如今,公关价格已经不像以前这么要紧了。、广告勾住和功能勾住导致公关本身的价格,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

最大的,有任何人图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。假设客套话不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:小瘤技术详解,张俊林

2:PageRank出现于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:应用 MapReduce to compute PageRank

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