PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

本文将引见PageRank算法的有关主题。,详细列举如下:

1。算法源
2。算法规律
三。算法声明
重量计算办法
幂迭代法
示性数法
代数法
5.算法实现
本迭代法的简略实现
5.2 MapReduce实现
算法的错误
7。写完
参考资料


1. 算法源

这麝香从搜索引擎的开展开端。。最早应用的搜索引擎是 花色品种目录[^ref_1] 的办法,更确切地说,手工生产花色品种网页和薄纸高技能网站。。那时辰 Yahoo 和海内的 hao123 这执意它被应用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工花色品种是不现实的。。搜索引擎在。 主题检索 的时期,更确切地说,计算用户查询关键词和Web CONE经过的相关性。。这种办法打破了相同的人的限度局限。,又搜索末后过失纤细的。。因无不其说得中肯一节网页来回地骨碌相当多的用键盘举行操作。。

因而笔者的用水砣测深将攀登活动或斗争的场所或场面。。没错,谷歌的两位创始人,当初,斯坦福中学。 (斯坦福中学) 中学) 谈论生的阅读 (拉里 页) 布林 (克里维茨 布林) 对网页整理的谈论开端。。他们运用学术评价的普通办法对ACA的重量举行了根究。, 那执意看报纸被援用多少次。。从刚过去的角度视域,网页的重量也可以被评价为ACC。。因而PageRank的结心思惟是[^ RefI2]的诞。,这很简略:

  • 以防网页被数不清的及其他网页连锁,刚过去的阅读就更要紧了。,更确切地说,PageRank值将对立较高。
  • 以防具有高PageRank值的网页连锁到另任一网页,连锁的网页的PageRank值将对应的扩大

列举如下图所示(动机图)

动机图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]大体上执意在前锋位置给每个网页任一PR值(下面用PR值引用PageRank值),因PR值是自然规律的意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是任一网页总额。。再者,普通经济状况下,主宰网页上公关的重量积和为1。。以防过失1,那过失不值得讨论的的。,最不行能的,差别网页经过的pr值经过的相干是STI。,它不克不及直觉的思索概率。。

预登上PR值后,,迭代经过下面的算法,直到遂愿平面散布。。

因特网上的数不清的网页可款待有向图。。下面是任一简略的例[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

更C要不是,,B和D有不恰当的条链。,因而,上述的词句是不正确的。。准许用户如今阅读B网页。,因而,下一步他翻开对开的或D页是统计资料上势均力敌的的概率。。因而,A公关的重量麝香表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网广泛分布上不在。,列举如下图:

sample1

图说得中肯C页缺席外链。,无PR值对及其他网页的奉献,笔者厌恶刚过去的自私自利的网页。 Markov 链收敛,因而,它为主宰网页找到了任一链,包含它自己。,图说得中肯a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

又让笔者思索其他的经济状况。:互联网广泛分布上的网页孤独地它自己的连锁。,或几页的链模型任一环绕。。在延续迭代迅速庄严的中,这对开的或更多页的pr值只会扩大。,显然是过度的的。。譬如,下面的图片说得中肯C页恰当的J的网页。:

sample3

为了处理刚过去的问题。笔者设想任一恣意的广泛分布阅读器。,当他抵达C网页时,显然过失混地被C的弟子困住了。。笔者准许他有必然的可能性,他将进入广泛分布地址。,跳到每个网页的概率是同上的。。合乎逻辑的推论是图说得中肯a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通经济状况下,网页的pr值按列举如下计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

进入\(M_{p_{i}}\)是主宰对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是任一网页\(p_{j}\)输出链数,\(N\)这是任一网页总额,\(\alpha\)普通采用。
思考下面的词句,笔者可以计算每个网页公关的重量。,当迭代波动庄严的时,这执意终极末后。。详细来说,到何种地步波动。,笔者在下面的PR重量计算办法节改造解说。


3. 算法声明

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 以防在限量,假设与\(P_0\)选择有关吗?

PageRank算法的有效包含不只是两点[^。为适当的起见,让笔者先机会PR值的计算办法。。

言传身教。

sample3

笔者可以用矩阵来表现链和柴经过的相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)缺席阅读。\(i\)广泛分布输出物链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)朝着主宰子组件部件 1 的列带菌者,而且界限矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按列举如下计算,进入\(P_{n}\)由N个迭代说得中肯每个阅读公关的重量结合的列带菌者。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

因而,PR值的计算变为任一迅速庄严的。 Markov 迅速庄严的,而且将PageRank算法的声明转变为声明。 Markov 迅速庄严的收敛性声明:以防刚过去的 Markov 迅速庄严的收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它有关。。

以防A Markov 迅速庄严的收敛,而且它的国家转变矩阵(A)需求消除[^ Ref6]:

  1. A是任一随机矩阵。。
  2. A是不行约的。。
  3. A责备周期性的。。

先看第短时间。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,消除下列的葡萄汁先具备的:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,笔者A矩阵的主宰元素都大于或相同的人0。,每个列有1个元素。。

另外的点,不行约矩阵:方针A是不行约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅朝着每对装满。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的方法。因笔者在从前设定用户在阅读阅读的时辰有决定概率经过输出网址的方法叫任一随机网页,因而,A矩阵也消除不行约的必要条件。。

第三点,必要条件A责备周期性的。。类似周期性,思索在马尔柯夫链的周期性。。以防A是周期性的。,而且,马尔柯夫链的国家是周期性的。。因A是素矩阵(素矩阵指亲手的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A责备周期性的。。

到这地步,声明了PageRank算法的有效。。


4. PR重量计算办法

幂迭代法

率先,为每个阅读分派任一随机PR值。,而且经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当消除以下可能性时,迭代完毕。,获取主宰阅读公关的重量:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

示性数法

当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的示性数的特征带菌者。 \\
(随机矩阵葡萄汁具有示性数1)。,本征带菌者的主宰权均为正或负。
\]

代数法

使有效的,当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
因 e朝着主宰子组件部件 1 的列带菌者,P的主宰身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

本迭代法的简略实现

用python实现[^ref_7],你需求先登上Python图形结心。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的重量。

    def __init__(self, DG)
         =   # 沮丧的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代假设完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中缺席链的装满被机会为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((装满)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (装满), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(装满)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (装满)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个装满。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 词句的(1*a)/n节

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(装满)):  # 遍历主宰输出阅读
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[装满] - 排列)  # 绝对
                page_rank[装满] = rank

            标记(刚过去的 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_排列)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    标记( final page rank is\n", page_ranks)

运行末后:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页经过的相干从:

begin

迭代的完毕列举如下:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的结心模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让笔者从MapReduce规律的简略引见开端。。

类似的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合说得中肯每个目标应用势均力敌的的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回任一综合。

举个典型例。:如今有3个主题文件。,有必要计算主宰有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让任一人顺序阅读这3个文件,每遇到任一字,看看你以前假设见过面。。词频加上遇到的任一。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到任一字,把刚过去的单词记下来。:(词语),1)(无论你以前假设遇到过刚过去的词),更确切地说,可能有多个势均力敌的的词。。之后,将发送另任一人来添加势均力敌的的单词。,终极的末后可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是应用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。以防你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被应用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce办法
        :param i: 需求任一MapReduce的集合。
        :param mapper: 自界限映射器办法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的任一列表
        """
        intermediate = []  # 存储主宰(中间的)密钥, intermediate_重量)
        for (钥匙, 重量) in i.items():
            (mapper(钥匙, 重量))

        # 排序返回任一有序的列表。,因列表说得中肯元素是元组。,密钥是思考元组说得中肯前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器说得中肯相邻重复元素,并将T,密钥思考前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着势均力敌的intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_重量)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为主宰对应intermediate_key的intermediate_value
        # 子组件部件列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,进入实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 沮丧的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代假设完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个广泛分布图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储阅读公关的重量
        # graph[i][1] 存放第i广泛分布输出物链相同的人
        # graph[i][2] 存放第i广泛分布输出物链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [装满] = [1.0 / , LeN((装满)), (装满))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_重量):
        """
        查看网页假设有链。,返回值说得中肯 1 缺席自然规律的意思。,恰当的为了在
        MpjRoad说得中肯组字典的密钥仅为1。,对应的的值都是挂起的网页。
        公关的重量
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 以防缺席输出物链,挂网页,而且回到[(1),刚过去的网页公关的重量)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算主宰悬挂网页公关的重量积和
        :param input_key: 思考IPML映射器的返回值,刚过去的输出键是:1
        :param input_value_list: 主宰悬挂网页公关的重量
        :return: 主宰悬挂网页公关的重量积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_重量):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],更确切地说,刚过去的网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的重量), (外链第2页), 出链网页2分得公关的重量)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A主宰分得公关的重量的列表:[,分得公关的重量,分得公关的重量...]
        :param dp: 主宰悬挂网页公关的重量积和
        :return: (页名),计算所得公关的重量)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都需求两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算主宰网页公关的重量
        :return: ,进入公关的重量已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的重量变化经济状况,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            标记(迭代 " + STR(迭代)

            # 因可能有网页挂起。,这执意为什么笔者有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[主宰悬挂网页公关的重量积和]
            # dp表现主宰悬挂网页公关的重量积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 因所需的减速器只能有两个参数。,而笔者
            # 需求传3个参数(多了任一主宰悬挂网页公关的重量积和,更确切地说,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是任一列表。,元素为:(页名),计算所得公关的重量)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算刚过去的车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            标记(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关重量
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

最不行能的一节是测试节。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的办法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    标记( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作末后:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

不只是便是PageRank的MapReduce实现。代码说得中肯注释更详细。,这麝香很容易理解。。


这是任一天才算法。,规律简略,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在相当多的缺陷。。

第一,站导航链路经过缺席区别。。数不清的网站有很多连锁到及其他网页在他们的主页上。,称为连锁导航连锁。这些连锁与差别网站经过的连锁举行比较。,当而且者更能传递传递相干。。

另外的,缺席过滤连锁和功能连锁被过滤。(譬如,共同分享微博)。。这些连锁通常缺席什么实用重量。,前者连锁到广告阅读。,后者经常连锁到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。任一新的网页的总入口链对立较小。,即使它的内容是高技能的。,它仍然需求很长的时间才能变为任一高PR值阅读。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福中学和雅虎的联合谈论。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,手工生产识别高技能阅读(即种子页)。,由种子页引导的阅读也可以是任一高技能的阅读。,更确切地说,它的Tr值也很高。,连锁从种子阅读越远。,阅读的TR值越低。。种子页可以选择更多连锁的阅读。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更正确地判断网页的重量。。


7. 写在最不行能的

谷歌应用PR值对网页举行花色品种。,有0~10级,普通4或不只是是好主页。。谷歌自己的公关重量是9。,百度也是9。,博客园公关的重量则为6。

如今,公关重量已经不像以前这么要紧了。、广告连锁和功能连锁导致公关本身的重量,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

最不行能的,有任一图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。以防词句不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:结心技术详解,张俊林

2:PageRank诞于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:应用 MapReduce to compute PageRank

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