PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

本文将绍介PageRank算法的有关主题。,详细如次:

1。算法源
2。算法规律
三。算法显示
财富计算办法
幂迭代法
特征数法
代数法
5.算法实现
由于迭代法的简略实现
5.2 MapReduce实现
算法的错误
7。写完
参考资料


1. 算法源

这可能从搜索引擎的开展开端。。最早运用的搜索引擎是 分类学目录[^ref_1] 的办法,即,手工操作分类学网页和有组织的高品种网站。。那时辰 Yahoo 和海内的 hao123 这执意它被运用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工分类学是不现实的。。搜索引擎在。 原文检索 的重大事件,即,计算用户查询关键词和Web CONE经过的相关性。。这种办法溃了数目的限度局限。,只搜索算是失去嗅迹澄清。。由于永远少量地网页往返骨碌少量地用键盘式排字机排字。。

因而敝的导致将顶上覆盖着舞台前部装置。。没错,谷歌的两位创始人,事先,斯坦福大学人员。 (斯坦福大学人员) 大学人员) 以为生的要紧事件 (拉里 页) 布林 (克里维茨 布林) 对网页整理的以为开端。。他们运用学术评价的普通办法对ACA的自大停止了根究。, 那执意看报纸被援用多少次。。从即将到来的角度视域,网页的自大也可以被评价为ACC。。如此PageRank的鼓励思惟是[^ RefI2]的诞。,这很简略:

  • 假如网页被很多地宁静网页互连,即将到来的要紧事件就更要紧了。,即,PageRank值将绝对较高。
  • 假如具有高PageRank值的网页互连到另每一网页,互连的网页的PageRank值将有重大意思的养育

如次图所示(观念图)

观念图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]一般而言执意先期给每个网页每一PR值(下面用PR值参考PageRank值),由于PR值是身体的意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是每一网页总额。。此外,普通限制下,迷住网页上公关的财富积和为1。。假如失去嗅迹1,那失去嗅迹不会有的的。,最末,变化多的网页经过的pr值经过的相干是STI。,它不克不及径直复印概率。。

预直立的PR值后,,迭代经过下面的算法,直到完成安详的散布。。

因特网上的很多地网页可计算总数有向图。。下面是每一简略的范例[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

除非C不计,,B和D有连绵不断一件商品链。,如此,是你这么说的嘛!公式集是不正确的。。授予用户如今阅读B网页。,如此,下一步他翻开对折的或D页是统计上同样的人的概率。。如此,A公关的财富可能表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网使联播上不在。,如次图:

sample1

图说话中肯C页无外链。,无PR值对宁静网页的奉献,敝厌恶即将到来的无私的网页。 Markov 链收敛,如此,它为迷住网页达到了每一链,包含它自己。,图说话中肯a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

只让敝思索其他的限制。:互联网使联播上的网页最好的它自己的拘束。,或几页的链形式每一回响。。在延续迭代迅速挪动中,这对折的或更多页的pr值只会养育。,显然是无礼的。。像,下面的图片说话中肯C页不过J的网页。:

sample3

为了处理即将到来的问题。敝设想每一恣意的使联播阅读器。,当他抵达C网页时,显然失去嗅迹晕眩的地被C的幼稚的人困住了。。敝授予他有必然的可能性,他将进入使联播地址。,跳到每个网页的概率是同上的。。终于图说话中肯a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通限制下,网页的pr值按如次计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

在内侧地\(M_{p_{i}}\)是迷住对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是每一网页\(p_{j}\)通道链数,\(N\)这是每一网页总额,\(\alpha\)普通采用。
战场下面的公式集,敝可以计算每个网页公关的财富。,当迭代波动挪动时,这执意终极算是。。详细来说,健康状况如何波动。,敝在下面的PR财富计算办法学派改造解说。


3. 算法显示

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 假如在限度,其中的哪一个与\(P_0\)选择无干吗?

PageRank算法的正当包含越过两点[^。为便利起见,让敝先代替物PR值的计算办法。。

言传身教。

sample3

敝可以用矩阵来表现链和柴经过的相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)无要紧事件。\(i\)使联播通道链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)就迷住子群 1 的列矢径,那时使明确矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按如次计算,在内侧地\(P_{n}\)由N个迭代说话中肯每个要紧事件公关的财富结合的列矢径。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

如此,PR值的计算适合每一迅速挪动。 Markov 迅速挪动,那时将PageRank算法的显示转变为显示。 Markov 迅速挪动收敛性显示:假如即将到来的 Markov 迅速挪动收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它无干。。

假如A Markov 迅速挪动收敛,那时它的保持健康转变矩阵(A)需求缓和[^ Ref6]:

  1. A是每一随机矩阵。。
  2. A是不成约的。。
  3. A责备周期性的。。

先看第少数。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,缓和拥护者必要的:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,敝A矩阵的迷住元素都大于或平等的0。,每个列有1个元素。。

以第二位点,不成约矩阵:方针A是不成约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅就每对填料。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的方法。由于敝在先前设定用户在阅读要紧事件的时辰有决定概率经过输出网址的方法接近每一随机网页,如此,A矩阵也缓和不成约的提出要求。。

第三点,提出要求A责备周期性的。。类似周期性,复印在马尔柯夫链的周期性。。假如A是周期性的。,那时,马尔柯夫链的保持健康是周期性的。。由于A是素矩阵(素矩阵指使近亲繁殖的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A责备周期性的。。

因此,显示了PageRank算法的正当。。


4. PR财富计算办法

幂迭代法

率先,为每个要紧事件分派每一随机PR值。,那时经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当缓和以下希望时,迭代完毕。,获取迷住要紧事件公关的财富:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

特征数法

当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的特征数的特征矢径。 \\
(随机矩阵必需具有特征数1)。,本征矢径的迷住权重均为正或负。
\]

代数法

外观的,当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
由于 e就迷住子群 1 的列矢径,P的迷住身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

由于迭代法的简略实现

用python实现[^ref_7],你需求先直立的Python图形鼓励。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的财富。

    def __init__(self, DG)
         =   # 潮湿的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代其中的哪一个完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中无链的填料被代替物为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((填料)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (填料), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(填料)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (填料)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个填料。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 公式集的(1*a)/n学派

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(填料)):  # 遍历迷住输出要紧事件
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[填料] - 分阶段)  # 不受任何限制的
                page_rank[填料] = rank

            特征(即将到来的 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_分阶段)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    特征( final page rank is\n", page_ranks)

运行算是:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页经过的相干从:

begin

迭代的完毕如次:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的鼓励模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让敝从MapReduce规律的简略绍介开端。。

类似的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合说话中肯每个目标应用同样的人的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回每一综合。

举个典型范例。:如今有3个原文文件。,有必要计算迷住有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让每一人顺序阅读这3个文件,每遇到每一字,看看你以前其中的哪一个见过面。。词频加上遇到的每一。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到每一字,把即将到来的单词记下来。:(词语),1)(无论你以前其中的哪一个遇到过即将到来的词),即,可能有多个同样的人的词。。之后,将发送另每一人来添加同样的人的单词。,终极的算是可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是运用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。假如你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被运用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce办法
        :param i: 需求每一MapReduce的集合。
        :param mapper: 自使明确映射器办法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的每一列表
        """
        intermediate = []  # 存储迷住(中间的)密钥, intermediate_财富)
        for (钥匙, 财富) in i.items():
            (mapper(钥匙, 财富))

        # 排序返回每一有序的列表。,由于列表说话中肯元素是元组。,密钥是战场元组说话中肯前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器说话中肯相邻重复元素,并将T,密钥战场前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着同样的人intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_财富)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为迷住对应intermediate_key的intermediate_value
        # 子群列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,在内侧地实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 潮湿的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代其中的哪一个完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个使联播图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储要紧事件公关的财富
        # graph[i][1] 存放第i使联播通道链数目
        # graph[i][2] 存放第i使联播通道链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [填料] = [1.0 / , LeN((填料)), (填料))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_财富):
        """
        查看网页其中的哪一个有链。,返回值说话中肯 1 无身体的意思。,不过为了在
        MpjRoad说话中肯组字典的密钥仅为1。,有重大意思的的值都是挂起的网页。
        公关的财富
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 假如无通道链,挂网页,那时回到[(1),即将到来的网页公关的财富)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算迷住悬挂网页公关的财富积和
        :param input_key: 战场IPML映射器的返回值,即将到来的输出键是:1
        :param input_value_list: 迷住悬挂网页公关的财富
        :return: 迷住悬挂网页公关的财富积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_财富):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],即,即将到来的网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的财富), (外链第2页), 出链网页2分得公关的财富)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A迷住分得公关的财富的列表:[,分得公关的财富,分得公关的财富...]
        :param dp: 迷住悬挂网页公关的财富积和
        :return: (页名),计算所得公关的财富)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都需求两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算迷住网页公关的财富
        :return: ,在内侧地公关的财富已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的财富变化限制,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            特征(迭代 " + STR(迭代)

            # 由于可能有网页挂起。,这执意为什么敝有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[迷住悬挂网页公关的财富积和]
            # dp表现迷住悬挂网页公关的财富积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 由于所需的减速器只能有两个参数。,而敝
            # 需求传3个参数(多了每一迷住悬挂网页公关的财富积和,即,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是每一列表。,元素为:(页名),计算所得公关的财富)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算即将到来的车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            特征(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关财富
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

最末一学派是测试学派。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的办法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    特征( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作算是:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

越过便是PageRank的MapReduce实现。代码说话中肯注释更详细。,这可能很容易理解。。


这是每一天才算法。,规律简略,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在少量地缺陷。。

第一,站导航链路经过无区别。。很多地网站有很多互连到宁静网页在他们的主页上。,称为互连导航互连。这些互连与变化多的网站经过的互连停止比较。,当那时者更能传递传递相干。。

以第二位,无过滤互连和功能互连被过滤。(像,共同分享微博)。。这些互连通常无什么实用财富。,前者互连到广告要紧事件。,后者经常互连到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。每一新的网页的总入口链绝对较小。,即使它的内容是高品种的。,它仍然需求很长的时间才能适合每一高PR值要紧事件。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福大学人员和雅虎的联合以为。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,手工操作识别高品种要紧事件(即种子页)。,由种子页引导的要紧事件也可以是每一高品种的要紧事件。,即,它的Tr值也很高。,互连从种子要紧事件越远。,要紧事件的TR值越低。。种子页可以选择更多互连的要紧事件。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更正确地判断网页的自大。。


7. 写在最末

谷歌运用PR值对网页停止分类学。,有0~10级,普通4或越过是好主页。。谷歌自己的公关财富是9。,百度也是9。,博客园公关的财富则为6。

如今,公关财富已经不像以前这么要紧了。、广告互连和功能互连导致公关本身的财富,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

最末,有每一图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。假如公式集不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:鼓励技术详解,张俊林

2:PageRank诞于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:运用 MapReduce to compute PageRank

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