PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

本文将绍介PageRank算法的有关主题。,详细列举如下:

1。算法源
2。算法规律
三。算法证实
估价计算办法
幂迭代法
示性数法
代数法
5.算法实现
本迭代法的简略实现
5.2 MapReduce实现
算法的缺陷
7。写完
参考资料


1. 算法源

这必然要从搜索引擎的开展开端。。最早运用的搜索引擎是 花色品种目录[^ref_1] 的办法,换句话说,人工操作花色品种网页和一套高大量网站。。话说回来 Yahoo 和国际的 hao123 这执意它被运用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工花色品种是不现实的。。搜索引擎在。 译本检索 的时期,换句话说,计算用户查询关键词和Web CONE当达到目标相关性。。这种办法打破了编号的限度局限。,只搜索成功实现的事做错好的。。因不断地非常网页往复地骨碌某些用键盘式排字机排字。。

因而本人的铅将顶上覆盖着竞技场。。没错,谷歌的两位创始人,事先,斯坦福中学。 (斯坦福中学) 中学) 探究生的翻页 (拉里 页) 布林 (波兹南队员克里维茨 布林) 对网页整理的探究开端。。他们运用学术评价的普通办法对ACA的显著举行了根究。, 那执意看报纸被援用多少次。。从左右角度看,网页的显著也可以被评价为ACC。。去PageRank的小瘤思惟是[^ RefI2]的暴露。,这很简略:

  • 假定网页被诸多安宁网页连锁,左右翻页就更要紧了。,换句话说,PageRank值将绝对较高。
  • 假定具有高PageRank值的网页连锁到另每一网页,连锁的网页的PageRank值将对应的增大

列举如下图所示(胚胎图)

胚胎图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]总之执意事先给每个网页每一PR值(下面用PR值指的是PageRank值),因PR值是身体检查意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是每一网页总额。。那个,普通局面下,一切网页上公关的估价积和为1。。假定做错1,那做错不值得讨论的的。,基本原理,差异网页当达到目标pr值当达到目标相干是STI。,它不克不及直线部门折转概率。。

预受操纵的事PR值后,,迭代经过下面的算法,直到完成流畅的散布。。

因特网上的诸多网页可对待有向图。。下面是每一简略的范例[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

而且C越过,,B和D有胜过一转链。,去,上述的词是不精确的。。万一用户现时阅读B网页。,去,下一步他翻开对开的或D页是统计上完全相同的事物的概率。。去,A公关的估价必然要表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网建立工作关系上不在。,列举如下图:

sample1

图达到目标C页缺少外链。,无PR值对安宁网页的奉献,本人讨厌左右无私的网页。 Markov 链收敛,去,它为一切网页使被安排好了每一链,包罗它自己。,图达到目标a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

只让本人思索其他的局面。:互联网建立工作关系上的网页就是它自己的链条。,或几页的链结构每一按铃。。在延续迭代换异中,这对开的或更多页的pr值只会增大。,显然是不合适的。。诸如,下面的图片达到目标C页公正的J的网页。:

sample3

为了处理左右问题。本人设想每一恣意的建立工作关系阅读器。,当他抵达C网页时,显然做错荒谬地被C的孩子困住了。。本人万一他有必然的可能性,他将进入建立工作关系地址。,跳到每个网页的概率是同上的。。终于图达到目标a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通局面下,网页的pr值按列举如下计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

内部的\(M_{p_{i}}\)是一切对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是每一网页\(p_{j}\)输出链数,\(N\)这是每一网页总额,\(\alpha\)普通采用。
由于下面的词,本人可以计算每个网页公关的估价。,当迭代稳固除去时,这执意终极成功实现的事。。详细来说,怎样稳固。,本人在下面的PR估价计算办法部门改装解说。


3. 算法证实

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 假定在限制,影响与\(P_0\)选择无干吗?

PageRank算法的正确包罗下两点[^。为便宜起见,让本人先改动PR值的计算办法。。

言传身教。

sample3

本人可以用矩阵来表现链和柴当达到目标相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)缺少翻页。\(i\)建立工作关系输出物链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)在四周一切议会 1 的列航向,后来地界说矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按列举如下计算,内部的\(P_{n}\)由N个迭代达到目标每个翻页公关的估价结合的列航向。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

去,PR值的计算相称每一换异。 Markov 换异,后来地将PageRank算法的证实转变为证实。 Markov 换异收敛性证实:假定左右 Markov 换异收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它无干。。

假定A Markov 换异收敛,后来地它的声明转变矩阵(A)需求心甘情愿的[^ Ref6]:

  1. A是每一随机矩阵。。
  2. A是不行约的。。
  3. A抵制周期性的。。

先看第一点点。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,心甘情愿的其次的影响:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,本人A矩阵的一切元素都大于或合计0。,每个列有1个元素。。

其次点,不行约矩阵:方针A是不行约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅在四周每对打包。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的小路。因本人在领先设定用户在阅读翻页的时分有决定概率经过输出网址的方法号召每一随机网页,去,A矩阵也心甘情愿的不行约的提出要求。。

第三点,提出要求A抵制周期性的。。同一的周期性,折转在马尔柯夫链的周期性。。假定A是周期性的。,后来地,马尔柯夫链的声明是周期性的。。因A是素矩阵(素矩阵指本身的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A抵制周期性的。。

因此,证实了PageRank算法的正确。。


4. PR估价计算办法

幂迭代法

率先,为每个翻页分派每一随机PR值。,后来地经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当心甘情愿的以下不相同时,迭代完毕。,获取一切翻页公关的估价:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

示性数法

当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的示性数的特征航向。 \\
(随机矩阵葡萄汁具有示性数1)。,本征航向的一切权重均为正或负。
\]

代数法

使巩固的,当上述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
因 e在四周一切议会 1 的列航向,P的一切身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

本迭代法的简略实现

用python实现[^ref_7],你需求先受操纵的事Python图形小瘤。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的估价。

    def __init__(self, DG)
         =   # 衰减系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代影响完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中缺少链的打包被改动为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((打包)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (打包), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(打包)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (打包)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个打包。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 词的(1*a)/n部门

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(打包)):  # 遍历一切输出翻页
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[打包] - 行列)  # 无条件的
                page_rank[打包] = rank

            邮票(左右 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_行列)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    邮票( final page rank is\n", page_ranks)

运行成功实现的事:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页当达到目标相干从:

begin

迭代的完毕列举如下:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的小瘤模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让本人从MapReduce规律的简略绍介开端。。

同一的的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合达到目标每个目标应用完全相同的事物的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回每一综合。

举个典型范例。:现时有3个译本文件。,有必要计算一切有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让每一人顺序阅读这3个文件,每遇到每一字,看看你以前影响见过面。。词频加上遇到的每一。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到每一字,把左右单词记下来。:(词语),1)(无论你以前影响遇到过左右词),换句话说,可能有多个完全相同的事物的词。。之后,将发送另每一人来添加完全相同的事物的单词。,终极的成功实现的事可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是运用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。假定你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被运用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce办法
        :param i: 需求每一MapReduce的集合。
        :param mapper: 自界说映射器办法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的每一列表
        """
        intermediate = []  # 存储一切(中间的)密钥, intermediate_估价)
        for (钥匙, 估价) in i.items():
            (mapper(钥匙, 估价))

        # 排序返回每一有序的列表。,因列表达到目标元素是元组。,密钥是由于元组达到目标前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器达到目标相邻重复元素,并将T,密钥由于前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着完全相同的事物intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_估价)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为一切对应intermediate_key的intermediate_value
        # 议会列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,内部的实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 衰减系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代影响完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个建立工作关系图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储翻页公关的估价
        # graph[i][1] 存放第i建立工作关系输出物链编号
        # graph[i][2] 存放第i建立工作关系输出物链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [打包] = [1.0 / , LeN((打包)), (打包))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_估价):
        """
        查看网页影响有链。,返回值达到目标 1 缺少身体检查意思。,公正的为了在
        MpjRoad达到目标组字典的密钥仅为1。,对应的的值都是挂起的网页。
        公关的估价
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 假定缺少输出物链,挂网页,后来地回到[(1),左右网页公关的估价)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算一切悬挂网页公关的估价积和
        :param input_key: 由于IPML映射器的返回值,左右输出键是:1
        :param input_value_list: 一切悬挂网页公关的估价
        :return: 一切悬挂网页公关的估价积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_估价):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],换句话说,左右网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的估价), (外链第2页), 出链网页2分得公关的估价)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A一切分得公关的估价的列表:[,分得公关的估价,分得公关的估价...]
        :param dp: 一切悬挂网页公关的估价积和
        :return: (页名),计算所得公关的估价)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都需求两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算一切网页公关的估价
        :return: ,内部的公关的估价已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的估价变化局面,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            邮票(迭代 " + STR(迭代)

            # 因可能有网页挂起。,这执意为什么本人有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[一切悬挂网页公关的估价积和]
            # dp表现一切悬挂网页公关的估价积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 因所需的减速器只能有两个参数。,而本人
            # 需求传3个参数(多了每一一切悬挂网页公关的估价积和,换句话说,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是每一列表。,元素为:(页名),计算所得公关的估价)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算左右车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            邮票(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关估价
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

基本原理一部门是测试部门。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的办法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    邮票( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作成功实现的事:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

下便是PageRank的MapReduce实现。代码达到目标注释更详细。,这必然要很容易理解。。


这是每一天才算法。,规律简略,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在某些缺陷。。

第一,站导航链路当中缺少区别。。诸多网站有很多连锁到安宁网页在他们的主页上。,称为连锁导航连锁。这些连锁与差异网站当达到目标连锁举行比较。,当后来地者更能传递传递相干。。

其次,缺少过滤连锁和功能连锁被过滤。(诸如,共同分享微博)。。这些连锁通常缺少什么实用估价。,前者连锁到广告翻页。,后者经常连锁到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。每一新的网页的总入口链绝对较小。,即使它的内容是高大量的。,它仍然需求很长的时间才能相称每一高PR值翻页。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福中学和雅虎的联合探究。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,人工操作识别高大量翻页(即种子页)。,由种子页引导的翻页也可以是每一高大量的翻页。,换句话说,它的Tr值也很高。,连锁从种子翻页越远。,翻页的TR值越低。。种子页可以选择更多连锁的翻页。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更精确地判断网页的显著。。


7. 写在基本原理

谷歌运用PR值对网页举行花色品种。,有0~10级,普通4或下是好主页。。谷歌自己的公关估价是9。,百度也是9。,博客园公关的估价则为6。

如今,公关估价已经不像以前这么要紧了。、广告连锁和功能连锁导致公关本身的估价,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

基本原理,有每一图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。假定词不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:小瘤技术详解,张俊林

2:PageRank暴露于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:运用 MapReduce to compute PageRank

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