PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

本文将绍介PageRank算法的有关主题。,详细如次:

1。算法源
2。算法规律
三。算法颁发专业合格证书
值得的计算办法
幂迭代法
特征数法
代数法
5.算法实现
鉴于迭代法的复杂实现
5.2 MapReduce实现
算法的缺陷
7。写完
参考资料


1. 算法源

这应当从搜索引擎的开展开端。。最早应用的搜索引擎是 分级目录[^ref_1] 的办法,即,人工操作分级网页和机构高块网站。。当初 Yahoo 和海内的 hao123 这执意它被应用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工分级是不现实的。。搜索引擎在。 原文检索 的时期,即,计算用户查询关键词和Web CONE暗射中靶子相关性。。这种办法打破了总额的限度局限。,但搜索发生归咎于晴天。。因无不某种程度网页一来一往骨碌数量庞大的数量庞大的的电子琴。。

因而we的自己人格形式的指挥将攀登演出。。没错,谷歌的两位创始人,当初,斯坦福学会。 (斯坦福学会) 学会) 学习生的年史 (拉里 页) 布林 (克里维茨 布林) 对网页整理的学习开端。。他们运用学术评价的普通办法对ACA的基本性举行了讨论。, 那执意看报纸被援用多少次。。从为了角度自己去看,网页的基本性也可以被评价为ACC。。中肯的地PageRank的果心思惟是[^ RefI2]的出现。,这很复杂:

  • 假使网页被数量庞大的数量庞大的休息网页连结,为了年史就更要紧了。,即,PageRank值将绝对较高。
  • 假使具有高PageRank值的网页连结到另一个人网页,连结的网页的PageRank值将中肯的养育

如次图所示(手势图)

手势图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]要而言之执意在前锋位置给每个网页一个人PR值(下面用PR值引用的PageRank值),因PR值是自然的意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是一个人网页总额。。而且,普通形势下,自己人网页上公关的值得的积和为1。。假使归咎于1,那归咎于谈不上的。,经受住,不寻常的网页暗射中靶子pr值暗射中靶子相干是STI。,它不克不及径直地反照概率。。

预装置PR值后,,迭代经过下面的算法,直到管辖的范围变缓和散布。。

因特网上的数量庞大的数量庞大的网页可乐趣有向图。。下面是一个人复杂的案件[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

除非C越过,,B和D有无穷一则链。,中肯的地,是你这么说的嘛!准则是不精确的。。假说用户如今阅读B网页。,中肯的地,下一步他翻开页码或张数或D页是统计上同上的概率。。中肯的地,A公关的值得的应当表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网方法上不在。,如次图:

sample1

图射中靶子C页缺席外链。,无PR值对休息网页的奉献,we的自己人格形式讨厌为了自私自利的网页。 Markov 链收敛,中肯的地,它为自己人网页树立了一个人链,包含它自己。,图射中靶子a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

但让we的自己人格形式思索备选的形势。:互联网方法上的网页结果却它自己的束缚。,或几页的链方式一个人大约。。在陆续迭代褶皱中,这页码或张数或更多页的pr值只会养育。,显然是不合理的的。。诸如,下面的图片射中靶子C页唯一的J的网页。:

sample3

为了处理为了问题。we的自己人格形式设想一个人恣意的方法阅读器。,当他抵达C网页时,显然归咎于鲁莽的地被C的弟子困住了。。we的自己人格形式假说他有必然的可能性,他将进入方法地址。,跳到每个网页的概率是类似的的。。这样图射中靶子a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通形势下,网页的pr值按如次计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

采用\(M_{p_{i}}\)是自己人对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是一个人网页\(p_{j}\)输出链数,\(N\)这是一个人网页总额,\(\alpha\)普通采用。
原因下面的准则,we的自己人格形式可以计算每个网页公关的值得的。,当迭代波动使感动时,这执意终极发生。。详细来说,健康状况如何波动。,we的自己人格形式在下面的PR值得的计算办法党派重制解说。


3. 算法颁发专业合格证书

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 假使在限制,能否与\(P_0\)选择无干吗?

PageRank算法的正确包含不只是两点[^。为手巧的起见,让we的自己人格形式先机会PR值的计算办法。。

言传身教。

sample3

we的自己人格形式可以用矩阵来表现链和柴暗射中靶子相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)缺席年史。\(i\)方法退场链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)在起作用的自己人议会 1 的列航向,那时明确矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按如次计算,采用\(P_{n}\)由N个迭代射中靶子每个年史公关的值得的结合的列航向。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

中肯的地,PR值的计算译成一个人褶皱。 Markov 褶皱,那时将PageRank算法的颁发专业合格证书转变为颁发专业合格证书。 Markov 褶皱收敛性颁发专业合格证书:假使为了 Markov 褶皱收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它无干。。

假使A Markov 褶皱收敛,那时它的事态转变矩阵(A)必要确信的[^ Ref6]:

  1. A是一个人随机矩阵。。
  2. A是不行约的。。
  3. A差错周期性的。。

先看第大约。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,确信的拥护者前提:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,we的自己人格形式A矩阵的自己人元素都大于或比得上0。,每个列有1个元素。。

其次点,不行约矩阵:方针A是不行约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅在起作用的每对混合词。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的远远地。因we的自己人格形式在过去的设定用户在阅读年史的时分有决定概率经过输出网址的方法出口一个人随机网页,中肯的地,A矩阵也确信的不行约的索取。。

第三点,索取A差错周期性的。。同一的周期性,反照在马尔柯夫链的周期性。。假使A是周期性的。,那时,马尔柯夫链的事态是周期性的。。因A是素矩阵(素矩阵指本身的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A差错周期性的。。

例如,颁发专业合格证书了PageRank算法的正确。。


4. PR值得的计算办法

幂迭代法

率先,为每个年史分派一个人随机PR值。,那时经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当确信的以下几率时,迭代完毕。,获取自己人年史公关的值得的:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

特征数法

当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的特征数的特征航向。 \\
(随机矩阵应该具有特征数1)。,本征航向的自己人使变重均为正或负。
\]

代数法

类似的,当是你这么说的嘛!马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
因 e在起作用的自己人议会 1 的列航向,P的自己人身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

鉴于迭代法的复杂实现

用python实现[^ref_7],你必要先装置Python图形果心。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的值得的。

    def __init__(self, DG)
         =   # 潮湿的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代能否完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中缺席链的混合词被机会为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((混合词)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (混合词), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(混合词)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (混合词)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个混合词。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 准则的(1*a)/n党派

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(混合词)):  # 遍历自己人输出年史
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[混合词] - 使成横排)  # 系数
                page_rank[混合词] = rank

            用脚踩踏(为了 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_使成横排)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    用脚踩踏( final page rank is\n", page_ranks)

运行发生:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页暗射中靶子相干从:

begin

迭代的完毕如次:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的果心模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让we的自己人格形式从MapReduce规律的复杂绍介开端。。

同一的的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合射中靶子每个目标应用同上的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回一个人综合。

举个典型案件。:如今有3个原文文件。,有必要计算自己人有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让一个人人顺序阅读这3个文件,每遇到一个人字,看看你以前能否见过面。。词频加上遇到的一个人。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到一个人字,把为了单词记下来。:(词语),1)(无论你以前能否遇到过为了词),即,可能有多个同上的词。。之后,将发送另一个人人来添加同上的单词。,终极的发生可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是应用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。假使你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被应用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce办法
        :param i: 必要一个人MapReduce的集合。
        :param mapper: 自明确映射器办法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的一个人列表
        """
        intermediate = []  # 存储自己人(中间的)密钥, intermediate_值得的)
        for (钥匙, 值得的) in i.items():
            (mapper(钥匙, 值得的))

        # 排序返回一个人有序的列表。,因列表射中靶子元素是元组。,密钥是原因元组射中靶子前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器射中靶子相邻重复元素,并将T,密钥原因前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着同上intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_值得的)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为自己人对应intermediate_key的intermediate_value
        # 议会列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,采用实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 潮湿的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代能否完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个方法图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储年史公关的值得的
        # graph[i][1] 存放第i方法退场链总额
        # graph[i][2] 存放第i方法退场链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [混合词] = [1.0 / , LeN((混合词)), (混合词))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_值得的):
        """
        查看网页能否有链。,返回值射中靶子 1 缺席自然的意思。,唯一的为了在
        MpjRoad射中靶子组字典的密钥仅为1。,中肯的的值都是挂起的网页。
        公关的值得的
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 假使缺席退场链,挂网页,那时回到[(1),为了网页公关的值得的)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算自己人悬挂网页公关的值得的积和
        :param input_key: 原因IPML映射器的返回值,为了输出键是:1
        :param input_value_list: 自己人悬挂网页公关的值得的
        :return: 自己人悬挂网页公关的值得的积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_值得的):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],即,为了网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的值得的), (外链第2页), 出链网页2分得公关的值得的)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A自己人分得公关的值得的的列表:[,分得公关的值得的,分得公关的值得的...]
        :param dp: 自己人悬挂网页公关的值得的积和
        :return: (页名),计算所得公关的值得的)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都必要两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算自己人网页公关的值得的
        :return: ,采用公关的值得的已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的值得的变化形势,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            用脚踩踏(迭代 " + STR(迭代)

            # 因可能有网页挂起。,这执意为什么we的自己人格形式有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[自己人悬挂网页公关的值得的积和]
            # dp表现自己人悬挂网页公关的值得的积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 因所需的减速器只能有两个参数。,而we的自己人格形式
            # 必要传3个参数(多了一个人自己人悬挂网页公关的值得的积和,即,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是一个人列表。,元素为:(页名),计算所得公关的值得的)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算为了车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            用脚踩踏(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关值得的
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

经受住一党派是测试党派。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的办法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    用脚踩踏( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作发生:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

不只是便是PageRank的MapReduce实现。代码射中靶子注释更详细。,这应当很容易理解。。


这是一个人天才算法。,规律复杂,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在数量庞大的数量庞大的的缺陷。。

第一,站导航链路暗中缺席区别。。数量庞大的数量庞大的网站有很多连结到休息网页在他们的主页上。,称为连结导航连结。这些连结与不寻常的网站暗射中靶子连结举行比较。,当那时者更能传递传递相干。。

其次,缺席过滤连结和功能连结被过滤。(诸如,共同分享微博)。。这些连结通常缺席什么实用值得的。,前者连结到广告年史。,后者经常连结到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。一个人新的网页的总入口链绝对较小。,即使它的内容是高块的。,它仍然必要很长的时间才能译成一个人高PR值年史。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福学会和雅虎的联合学习。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,人工操作识别高块年史(即种子页)。,由种子页引导的年史也可以是一个人高块的年史。,即,它的Tr值也很高。,连结从种子年史越远。,年史的TR值越低。。种子页可以选择更多连结的年史。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更精确地判断网页的基本性。。


7. 写在经受住

谷歌应用PR值对网页举行分级。,有0~10级,普通4或不只是是好主页。。谷歌自己的公关值得的是9。,百度也是9。,博客园公关的值得的则为6。

如今,公关值得的已经不像以前这么要紧了。、广告连结和功能连结导致公关本身的值得的,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

经受住,有一个人图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。假使准则不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:果心技术详解,张俊林

2:PageRank出现于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:应用 MapReduce to compute PageRank

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