PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

本文将绍介PageRank算法的有关主题。,详细如次:

1。算法源
2。算法规律
三。算法声明
价计算办法
幂迭代法
特征数法
代数法
5.算法实现
鉴于迭代法的复杂实现
5.2 MapReduce实现
算法的缺陷
7。写完
参考资料


1. 算法源

这必要的做的事从搜索引擎的开展开端。。最早应用的搜索引擎是 归类目录[^ref_1] 的办法,即,手工生产归类网页和扩大组织高大规模的网站。。那时辰 Yahoo 和国际的 hao123 这执意它被应用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工归类是不现实的。。搜索引擎在。 教科书检索 的有时,即,计算用户查询保留字和Web CONE经过的相关性。。这种办法打破了音量的限度局限。,再搜索树或花草结果责任健康的。。由于常常相反地网页往复地骨碌大约尖形指示牌。。

因而人们的领导将克服筹办。。没错,谷歌的两位创始人,当初,斯坦福学院。 (斯坦福学院) 学院) 追究生的页表 (拉里 页) 布林 (克里维茨 布林) 对网页挑选的追究开端。。他们运用学术评价的普通办法对ACA的自大停止了讨论。, 那执意看报纸被援用多少次。。从大约角度视图,网页的自大也可以被评价为ACC。。终于PageRank的古地块思惟是[^ RefI2]的降生。,这很复杂:

  • 假如网页被很多地剩余平衡网页并置,大约页表就更要紧了。,即,PageRank值将对立较高。
  • 假如具有高PageRank值的网页并置到另若干钟网页,并置的网页的PageRank值将相当的扩大某人的权力

如次图所示(请求图)

请求图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]总之执意在前锋位置给每个网页若干钟PR值(下面用PR值证明人PageRank值),由于PR值是体格检查意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是若干钟网页总额。。到一边,普通制约下,自己的事物网页上公关的价积和为1。。假如责任1,那责任谈不上的。,充分地,清楚的网页经过的pr值经过的相干是STI。,它不克不及立即的表明概率。。

预成立PR值后,,迭代经过下面的算法,直到积累到平滑的散布。。

因特网上的很多地网页可数数有向图。。下面是若干钟复杂的范例[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

此外C超过,,B和D有不了一转链。,终于,前述的公式集是不精确的。。授予用户如今阅读B网页。,终于,下一步他翻开对折的或D页是统计上同样看待的概率。。终于,A公关的价必要的做的事表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网方法上不在。,如次图:

sample1

图正中鹄的C页没外链。,无PR值对剩余平衡网页的奉献,人们厌憎大约无私的网页。 Markov 链收敛,终于,它为自己的事物网页扩大了若干钟链,包孕它自己。,图正中鹄的a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

再让人们思索另类的制约。:互联网方法上的网页孤独地它自己的延续。,或几页的链体现若干钟指环。。在延续迭代转换中,这对折的或更多页的pr值只会扩大某人的权力。,显然是无理性的的。。拿 … 来说,下面的图片正中鹄的C页仅有的J的网页。:

sample3

为了处理大约问题。人们设想若干钟恣意的方法阅读器。,当他抵达C网页时,显然责任淘气鬼地被C的产物困住了。。人们授予他有必然的可能性,他将进入方法地址。,跳到每个网页的概率是同上的。。之后图正中鹄的a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通制约下,网页的pr值按如次计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

经过\(M_{p_{i}}\)是自己的事物对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是若干钟网页\(p_{j}\)输出链数,\(N\)这是若干钟网页总额,\(\alpha\)普通采用。
理由下面的公式集,人们可以计算每个网页公关的价。,当迭代不乱换衣服时,这执意终极树或花草结果。。详细来说,到何种地步不乱。,人们在下面的PR价计算办法平衡重制解说。


3. 算法声明

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 假如在限制,能否与\(P_0\)选择有关吗?

PageRank算法的效力包孕上级的两点[^。为手边的起见,让人们先旋转PR值的计算办法。。

言传身教。

sample3

人们可以用矩阵来表现链和柴经过的相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)没页表。\(i\)方法传播链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)在起作用的自己的事物装配 1 的列航向,之后使明确矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按如次计算,经过\(P_{n}\)由N个迭代正中鹄的每个页表公关的价结合的列航向。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

终于,PR值的计算相当若干钟转换。 Markov 转换,之后将PageRank算法的声明转变为声明。 Markov 转换收敛性声明:假如大约 Markov 转换收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它有关。。

假如A Markov 转换收敛,之后它的国务的转变矩阵(A)需求绥靖[^ Ref6]:

  1. A是若干钟随机矩阵。。
  2. A是不行约的。。
  3. A纠纷周期性的。。

先看第若干。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,绥靖如下状态:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,人们A矩阵的自己的事物元素都大于或量0。,每个列有1个元素。。

瞬间点,不行约矩阵:方针A是不行约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅在起作用的每对包装。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的大大地。由于人们在优于设定用户在阅读页表的时辰有决定概率经过输出网址的方法需求若干钟随机网页,终于,A矩阵也绥靖不行约的需求。。

第三点,需求A纠纷周期性的。。类似周期性,表明在马尔柯夫链的周期性。。假如A是周期性的。,之后,马尔柯夫链的国务的是周期性的。。由于A是素矩阵(素矩阵指本人的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A纠纷周期性的。。

这么,声明了PageRank算法的效力。。


4. PR价计算办法

幂迭代法

率先,为每个页表分派若干钟随机PR值。,之后经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当绥靖以下胜算时,迭代完毕。,获取自己的事物页表公关的价:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

特征数法

当前述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的特征数的特征航向。 \\
(随机矩阵必要的具有特征数1)。,本征航向的自己的事物要素均为正或负。
\]

代数法

类似性的,当前述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
由于 e在起作用的自己的事物装配 1 的列航向,P的自己的事物身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

鉴于迭代法的复杂实现

用python实现[^ref_7],你需求先成立Python图形古地块。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的价。

    def __init__(self, DG)
         =   # 沉闷的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代能否完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中没链的包装被旋转为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((包装)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (包装), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(包装)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (包装)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个包装。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 公式集的(1*a)/n平衡

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(包装)):  # 遍历自己的事物输出页表
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[包装] - 顺序)  # 绝对事物
                page_rank[包装] = rank

            蜡纸油印件(大约 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_顺序)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    蜡纸油印件( final page rank is\n", page_ranks)

运行树或花草结果:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页经过的相干从:

begin

迭代的完毕如次:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的古地块模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让人们从MapReduce规律的复杂绍介开端。。

类似的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合正中鹄的每个目标应用同样看待的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回若干钟综合。

举个典型范例。:如今有3个教科书文件。,有必要计算自己的事物有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让若干钟人顺序阅读这3个文件,每遇到若干钟字,看看你以前能否见过面。。词频加上遇到的若干钟。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到若干钟字,把大约单词记下来。:(词语),1)(无论你以前能否遇到过大约词),即,可能有多个同样看待的词。。之后,将发送另若干钟人来添加同样看待的单词。,终极的树或花草结果可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是应用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。假如你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被应用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce办法
        :param i: 需求若干钟MapReduce的集合。
        :param mapper: 自使明确映射器办法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的若干钟列表
        """
        intermediate = []  # 存储自己的事物(中间的)密钥, intermediate_价)
        for (钥匙, 价) in i.items():
            (mapper(钥匙, 价))

        # 排序返回若干钟有序的列表。,由于列表正中鹄的元素是元组。,密钥是理由元组正中鹄的前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器正中鹄的相邻重复元素,并将T,密钥理由前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着同样看待intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_价)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为自己的事物对应intermediate_key的intermediate_value
        # 装配列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,经过实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 沉闷的系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代能否完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个方法图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储页表公关的价
        # graph[i][1] 存放第i方法传播链音量
        # graph[i][2] 存放第i方法传播链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [包装] = [1.0 / , LeN((包装)), (包装))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_价):
        """
        查看网页能否有链。,返回值正中鹄的 1 没体格检查意思。,仅有的为了在
        MpjRoad正中鹄的组字典的密钥仅为1。,相当的的值都是挂起的网页。
        公关的价
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 假如没传播链,挂网页,之后回到[(1),大约网页公关的价)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算自己的事物悬挂网页公关的价积和
        :param input_key: 理由IPML映射器的返回值,大约输出键是:1
        :param input_value_list: 自己的事物悬挂网页公关的价
        :return: 自己的事物悬挂网页公关的价积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_价):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],即,大约网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的价), (外链第2页), 出链网页2分得公关的价)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A自己的事物分得公关的价的列表:[,分得公关的价,分得公关的价...]
        :param dp: 自己的事物悬挂网页公关的价积和
        :return: (页名),计算所得公关的价)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都需求两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算自己的事物网页公关的价
        :return: ,经过公关的价已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的价变化制约,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            蜡纸油印件(迭代 " + STR(迭代)

            # 由于可能有网页挂起。,这执意为什么人们有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[自己的事物悬挂网页公关的价积和]
            # dp表现自己的事物悬挂网页公关的价积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 由于所需的减速器只能有两个参数。,而人们
            # 需求传3个参数(多了若干钟自己的事物悬挂网页公关的价积和,即,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是若干钟列表。,元素为:(页名),计算所得公关的价)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算大约车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            蜡纸油印件(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关价
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

充分地一平衡是测试平衡。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的办法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    蜡纸油印件( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作树或花草结果:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

上级的便是PageRank的MapReduce实现。代码正中鹄的注释更详细。,这必要的做的事很容易理解。。


这是若干钟天才算法。,规律复杂,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在大约缺陷。。

第一,站导航链路经过没区别。。很多地网站有很多并置到剩余平衡网页在他们的主页上。,称为并置导航并置。这些并置与清楚的网站经过的并置停止比较。,当之后者更能传递传递相干。。

瞬间,没过滤并置和功能并置被过滤。(拿 ... 来说,共同分享微博)。。这些并置通常没什么实用价。,前者并置到广告页表。,后者经常并置到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。若干钟新的网页的总入口链对立较小。,即使它的内容是高大规模的的。,它仍然需求很长的时间才能相当若干钟高PR值页表。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福学院和雅虎的联合追究。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,手工生产识别高大规模的页表(即种子页)。,由种子页引导的页表也可以是若干钟高大规模的的页表。,即,它的Tr值也很高。,并置从种子页表越远。,页表的TR值越低。。种子页可以选择更多并置的页表。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更精确地判断网页的自大。。


7. 写在充分地

谷歌应用PR值对网页停止归类。,有0~10级,普通4或上级的是好主页。。谷歌自己的公关价是9。,百度也是9。,博客园公关的价则为6。

如今,公关价已经不像以前这么要紧了。、广告并置和功能并置导致公关本身的价,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

充分地,有若干钟图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。假如公式集不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:古地块技术详解,张俊林

2:PageRank降生于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:应用 MapReduce to compute PageRank

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