PageRank算法–从原理到实现 – 刀刀流

本文将绍介PageRank算法的有关主题。,详细如次:

1。算法源
2。算法规律
三。算法公开宣称
价计算方法
幂迭代法
固有值法
代数法
5.算法实现
由于迭代法的简略实现
5.2 MapReduce实现
算法的缺陷
7。写完
参考资料


1. 算法源

这理应从搜索引擎的开展开端。。最早应用的搜索引擎是 归类目录[^ref_1] 的方法,执意说,人工控制归类网页和机构高大规模的网站。。那时的 Yahoo 和海内的 hao123 这执意它被应用的方法。。

后头,越来越多的网页。,手工归类是不现实的。。搜索引擎在。 译文检索 的时期,执意说,计算用户查询保留字和Web CONE当射中靶子相关性。。这种方法溃了等同的限度局限。,但搜索胜利责备地租。。由于常常当然啦网页往复地骨碌少许电键。。

因而咱们的铅将顶上覆盖着竞技场。。没错,谷歌的两位创始人,当初,斯坦福学院。 (斯坦福学院) 学院) 以为生的翻书页 (拉里 页) 布林 (波兹南队员克里维茨 布林) 对网页整理的以为开端。。他们运用学术评价的普通方法对ACA的本性举行了根究。, 那执意看报纸被援用多少次。。从这事角度视域,网页的本性也可以被评价为ACC。。因而PageRank的谷粒思惟是[^ RefI2]的产生。,这很简略:

  • 倘若网页被多的否则网页挽住,这事翻书页就更要紧了。,执意说,PageRank值将绝对较高。
  • 倘若具有高PageRank值的网页挽住到另单独网页,挽住的网页的PageRank值将确切的增多

如次图所示(意向图)

意向图


2. 算法规律

PageRank算法[^ref_3]大体上执意提前的给每个网页单独PR值(下面用PR值引用PageRank值),由于PR值是自然规律的意思上的,网页是AC的概率。,因而普通来说 \frac{1}{N} $,n这是单独网页总额。。其余的,普通形势下,懂得网页上公关的价积和为1。。倘若责备1,那责备不成能的的。,限量的,两样网页当射中靶子pr值当射中靶子相干是STI。,它不克不及当前的反应能力概率。。

预准备PR值后,,迭代经过下面的算法,直到经过努力抵达某事物流畅的散布。。

因特网上的多的网页可涉及有向图。。下面是单独简略的包围[^ RefMy4]:

sample1

此刻,A的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = PR(b) + PR(C) \]

而且C远处,,B和D有连绵不断条款链。,因而,前述的态度是不正确的。。猜想用户现时阅读B网页。,因而,下一步他翻开对开的纸或D页是统计数字上俱的概率。。因而,A公关的价理应表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{1} \]

有些网页在互联网网上不在。,如次图:

sample1

图射中靶子C页没外链。,无PR值对否则网页的奉献,咱们厌憎这事自私自利的网页。 Markov 链收敛,因而,它为懂得网页创办了单独链,包罗它自己。,图射中靶子a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \frac{PR(b)}{2} + \frac{PR(C)}{4} \]

但让咱们思索其他的形势。:互联网网上的网页只要它自己的拘束。,或几页的链排队单独绕过。。在陆续迭代行动方向中,这对开的纸或更多页的pr值只会增多。,显然是不合理的的。。比如,下面的图片射中靶子C页唯一的J的网页。:

sample3

为了处理这事问题。咱们设想单独恣意的网阅读器。,当他抵达C网页时,显然责备愚蠢的地被C的弟子困住了。。咱们猜想他有必然的可能性,他将进入网地址。,跳到每个网页的概率是同上的。。进而图射中靶子a的pr值可以表现为:

\[ PR(a) = \alpha(\frac{PR(b)}{2}) + \frac{(1 – \alpha)}{4}\]

在普通形势下,网页的pr值按如次计算:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 – \alpha)}{N} \]

进入\(M_{p_{i}}\)是懂得对\(p_{i}\)带链的网页,\(L(p_{j})\)这是单独网页\(p_{j}\)输出链数,\(N\)这是单独网页总额,\(\alpha\)普通采用。
基本原则下面的态度,咱们可以计算每个网页公关的价。,当迭代不乱变化时,这执意终极胜利。。详细来说,健康状况如何不乱。,咱们在下面的PR价计算方法嫁妆重制解说。


3. 算法公开宣称

  • $ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} 它在吗?
  • 倘若在限量,无论与\(P_0\)选择无干吗?

PageRank算法的正确包罗下两点[^。为近便的起见,让咱们先修改PR值的计算方法。。

言传身教。

sample3

咱们可以用矩阵来表现链和柴当射中靶子相干。,\(S_{ij} = 0\)表现\(j\)没翻书页。\(i\)网退出链:

\[ S =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1/3 & 0 & 0 & 1/2 \\
1/3 & 0 & 1 & 1/2 \\
1/3 & 1/2 & 0 & 0 \\
\end{array}
右)
\]

\(e\)助动词=have懂得隶属的小组织 1 的列航向,此后限制矩阵。:

\[ A = \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \]

PR值按如次计算,进入\(P_{n}\)由N个迭代射中靶子每个翻书页公关的价结合的列航向。:

\[ P_{n+1} = A P_{n} \]

因而,PR值的计算发生单独行动方向。 Markov 行动方向,此后将PageRank算法的公开宣称转变为公开宣称。 Markov 行动方向收敛性公开宣称:倘若这事 Markov 行动方向收敛,这么$ \lim_{n 姓 \infty}P_{n} (在),与P00$的选择与它无干。。

倘若A Markov 行动方向收敛,此后它的情形转变矩阵(A)必要应验[^ Ref6]:

  1. A是单独随机矩阵。。
  2. A是不成约的。。
  3. A纠纷周期性的。。

先看第若干。,随机矩阵也称为概率矩阵。 Markov 矩阵,应验随后必需品:

\[
A.中矩阵I的线J元素A{{ij},则
\forall i = 1 \dots n, j = 1 \dots n, a_{ij} \geq 0, 且
\forall i = 1 \dots n, \sum_{j = 1}^n a_{ij} = 1
\]

显然,咱们A矩阵的懂得元素都大于或比得上0。,每个列有1个元素。。

另外的点,不成约矩阵:方针A是不成约的。当且仅当与A对应的有向图是强联通的。有向图\(G = (V,E)\)它是强连通的,且仅助动词=have每对结节。\(u,v \in V\),在从\(u\)\(v\)的路程。由于咱们在从前设定用户在阅读翻书页的时辰有决定概率经过输出网址的方法叫单独随机网页,因而,A矩阵也应验不成约的必需品。。

第三点,必需品A纠纷周期性的。。相同的周期性,反应能力在马尔柯夫链的周期性。。倘若A是周期性的。,此后,马尔柯夫链的情形是周期性的。。由于A是素矩阵(素矩阵指自行的某个次幂为正矩阵的矩阵),因而A纠纷周期性的。。

像这样,公开宣称了PageRank算法的正确。。


4. PR价计算方法

幂迭代法

率先,为每个翻书页分派单独随机PR值。,此后经过 P_{n+1} = A P_{n} 迭代迭代PR值。当应验以下变化时,迭代完毕。,获取懂得翻书页公关的价:

\[ |P_{n+1} – P_{n}| < \epsilon \]

固有值法

当前述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P 姓 P是对应于矩阵1的固有值的特征航向。 \\
(随机矩阵不得已具有固有值1)。,本征航向的懂得重担均为正或负。
\]

代数法

切近的,当前述的马尔柯夫链收敛时,,必有:

\[
P = A P \\
姓 P = \lgroup \alpha S + \frac{(1 – \alpha)}{N}ee^T \rgroup P \\
由于 e助动词=have懂得隶属的小组织 1 的列航向,P的懂得身分积和为1。 \\
姓 P = \alpha SP + \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 (ee^T – \alpha S)P = \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
姓 P = (ee^T – \alpha S)^{-1} \frac{(1 – \alpha)}{N}e \\
\]


5. 算法实现

由于迭代法的简略实现

用python实现[^ref_7],你必要先准备Python图形谷粒。。

# -*- coding: utf-8 -*-

from pygraph.classes.digraph import digraph


class PRIterator:
    __doc__ = 计算图片中公关的价。

    def __init__(self, DG)
         =   # 减幅系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代无论完毕。,即ϵ
         = dg

    def page_rank(self):
        #  率先,在图中没链的结节被修改为具有链F。
        for node in .nodes():
            if LeN((结节)) == 0:
                for node2 in .nodes():
                    (, (结节), node2))

        nodes = .nodes()
        graph_size = len(结节)s)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = (结节)s, 1.0 / graph_size)  # 将初始PR值分派给每个结节。
        damping_value = (1.0 - ) / graph_size  # 态度的(1*a)/n嫁妆

        flag = False
        for i in range():
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in .incidents(结节)):  # 遍历懂得输出翻书页
                    rank +=  * (page_rank[incident_page] / len((incident_page)))
                rank += damping_value
                change += ABS(PaGeQueRange[结节] - 行列)  # 完全的
                page_rank[结节] = rank

            捣碎(这事 is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_行列)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % node)
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank


if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = ()

    捣碎( final page rank is\n", page_ranks)

运行胜利:

finished in 36 iterations!
The final page rank is
{A , ''C'': , ''B'': , ''E'': , ''D'': }

程序中给出的网页当射中靶子相干从:

begin

迭代的完毕如次:

end

5.2 MapReduce实现

作为Hadoop(散布式系统平台)的谷粒模块之一,MapReduce是一种高效的散布式计算框架。。让咱们从MapReduce规律的简略绍介开端。。

相同的的MapReduce,有两个操作。:Mapping和Reducing[^ref_8]。

  • 映射(映射):对集合射中靶子每个目标应用俱的操作。。
  • 简化(约简) ):遍历返回的映射中返回的元素以返回单独综合。

举个典型包围。:现时有3个译文文件。,有必要计算懂得有吸引力的单词的词频。。传统的想法是让单独人顺序阅读这3个文件,每遇到单独字,看看你以前无论见过面。。词频加上遇到的单独。:(词语),N + 1),否则,新单词将被记录下来。,词频一:(词语),1)。

MapReduce方法是:把这3份文件分成3个人。,每个人都阅读文档。。每当我遇到单独字,把这事单词记下来。:(词语),1)(无论你以前无论遇到过这事词),执意说,可能有多个俱的词。。之后,将发送另单独人来添加俱的单词。,终极的胜利可以得到。。

词频统计的详细实现可见点我。

下面是应用MapReduce实现PageRank的详细代码[^ref_9]。率先是通用地图和还原模块。。倘若你觉得很难理解,可以先看看词频统计的实现代码,下面的模块也被应用。:

class MapReduce:
    __doc__ = ''提供MaPixRead函数''。

    @staticmethod
    def map_reduce(i, mapper, 减速机)
        """
        map_reduce方法
        :param i: 必要单独MapReduce的集合。
        :param mapper: 自限制映射器方法
        :param reducer: 定制减速器法
        :return: 以定制减速器法的返回值为元素的单独列表
        """
        intermediate = []  # 存储懂得(中间的)密钥, intermediate_价)
        for (钥匙, 价) in i.items():
            (mapper(钥匙, 价))

        # 排序返回单独有序的列表。,由于列表射中靶子元素是元组。,密钥是基本原则元组射中靶子前几个元素来设置的。
        # GROPBY提取迭代器射中靶子相邻重复元素,并将T,密钥基本原则前几项设置重复元素的选择。
        # 下面的循环中groupby返回的key是intermediate_key,和组是列表。,它是1个或更多。
        # 有着俱intermediate_key的(intermediate_key, intermediate_价)
        groups = {}
        for key, group in itertools.groupby(sorted(intermediate, key=lambda im: IM〔0〕, key=lambda x: x[0]):
            组[键] = [y for x, y in 组
        # 群组是一本字典。,它的关键是下面提到的中间体。,value为懂得对应intermediate_key的intermediate_value
        # 隶属的小组织列表
        return [reducer(intermediate_key, groups[intermediate_key]) for intermediate_key in 组

接下来是PR值的计算的类。,进入实现了用于PR值的计算的mapper和reducer:

class PRMapReduce:
    __doc__ = PR值的计算

    def __init__(self, DG)
         =   # 减幅系数,即α
         = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0001  # 决定迭代无论完毕。,即ϵ
         = len(())  # 网页总额

        # 图代表整个网图。。是字典类型。
        # graph[i][0] 存储翻书页公关的价
        # graph[i][1] 存放第i网退出链等同
        # graph[i][2] 存放第i网退出链网页,这是一张单子。
         = {}
        for node in ():
            [结节] = [1.0 / , LeN((结节)), (结节))]

    def ip_mapper(self, input_key, input_价):
        """
        查看网页无论有链。,返回值射中靶子 1 没自然规律的意思。,唯一的为了在
        MpjRoad射中靶子组字典的密钥仅为1。,确切的的值都是挂起的网页。
        公关的价
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key]
        :return: 倘若没退出链,挂网页,此后回到[(1),这事网页公关的价)];否则,它将返回。
        """
        if input_value[1] == 0:
            return [(1, input_值〔0〕]
        else:
            return []

    def ip_reducer(self, input_key, input_value_list):
        """
        计算懂得悬挂网页公关的价积和
        :param input_key: 基本原则IPML映射器的返回值,这事输出键是:1
        :param input_value_list: 懂得悬挂网页公关的价
        :return: 懂得悬挂网页公关的价积和
        """
        return sum(input_value_list)

    def pr_mapper(self, input_key, input_价):
        """
        映射法
        :param input_key: 网页名,如 A
        :param input_value: [input_key],执意说,这事网页上的相关信息。
        :return: [网页名称], ), (外链第1页), 出链网页1分得公关的价), (外链第2页), 出链网页2分得公关的价)...]
        """
        return [(input_key, )] + [(out_link, input_value[0] / input_value[1]) for out_link in input_value[2]]

    def pr_reducer_inter(self, intermediate_key, intermediate_value_list, DP)
        """
        还原法
        :param intermediate_key: 网页名,如 A
        :param intermediate_value_list: A懂得分得公关的价的列表:[,分得公关的价,分得公关的价...]
        :param dp: 懂得悬挂网页公关的价积和
        :return: (页名),计算所得公关的价)
        """
        return (intermediate_key,
                 * sum(intermediate_value_list) +
                 * dp /  +
                (1.0 - ) / )

    def page_rank(self):
        """
        PR值的计算,每次迭代都必要两次调用MapReduce。。一次是计算悬挂网页PR值积和,一次
        是计算懂得网页公关的价
        :return: ,进入公关的价已经计算好
        """
        iteration = 1  # 迭代次数
        change = 1  # 记录每轮迭代后公关的价变化形势,初始值为1,确保至少一次迭代。
        while change > self.min_delta:
            捣碎(迭代 " + STR(迭代)

            # 由于可能有网页挂起。,这执意为什么咱们有以下的DangLink列表。
            # dangling_list存放的是[懂得悬挂网页公关的价积和]
            # dp表现懂得悬挂网页公关的价积和
            dangling_list = (, self.ip_mapper, self.ip_reducer)
            if dangling_list:
                dp = dangling_list[0]
            else:
                dp = 0

            # 由于所需的减速器只能有两个参数。,而咱们
            # 必要传3个参数(多了单独懂得悬挂网页公关的价积和,执意说,DP),因而用它
            # 下面的lambda表达式用于实现该目标。
            # NexPr是单独列表。,元素为:(页名),计算所得公关的价)
            new_pr = (, self.pr_mapper, lambda x, y: self.pr_reducer_inter(x, y, DP)

            # 计算这事车轮的PR值的变化。
            change = 求和([ABS(NexPr[i])〔1〕 - [new_pr[i][0]][0]) for i in range()])
            捣碎(更改 " + STR(变化)

            # 更新公关价
            for i in range():
                [new_pr[i][0]][0] = new_pr[i][1]
            iteration += 1
        return 

限量的一嫁妆是测试嫁妆。,我用Python的有向图来创建有向图。,并调用下面的方法来PR值的计算:

if __name__ == ''__main__'':
    dg = digraph()

    [(a)], "B", "C", "D", "E"])

    ((a), "B"))
    ((a), "C"))
    ((a), "D"))
    (("B", "D"))
    (("C", "E"))
    (("D", "E"))
    (("B", "E"))
    (("E", A

    pr = PRMapReduce(dg)
    page_ranks = ()

    捣碎( final page rank 是
    for key, value in page_ranks.items():
        print(钥匙 + " : ", 值〔0〕

附加操作胜利:

Iteration: 44
Change: 1.275194338951069e-05
Iteration: 45
Change: 1.0046004543212694e-05
Iteration: 46
Change: 7.15337406470562e-06
The final page rank is
E :  0.3133376132128915
C :  0.11396289866948645
B :  0.11396289866948645
A :  0.2963400114149353
D :  0.1623965780332006

下便是PageRank的MapReduce实现。代码射中靶子注释更详细。,这理应很容易理解。。


这是单独天才算法。,规律简略,效果却令人惊叹。。然而,在PageRank算法中仍然在少许缺陷。。

第一,站导航链路当中没区别。。多的网站有很多挽住到否则网页在他们的主页上。,称为挽住导航挽住。这些挽住与两样网站当射中靶子挽住举行比较。,当此后者更能传递传递相干。。

另外的,没过滤挽住和功能挽住被过滤。(比如,共同分享微博)。。这些挽住通常没什么实用价。,前者挽住到广告翻书页。,后者经常挽住到社交网站的主页。。

第三,对新网页不友好。单独新的网页的总入口链绝对较小。,即使它的内容是高大规模的的。,它仍然必要很长的时间才能发生单独高PR值翻书页。。

针对PageRank算法的不足,有人建议。TrustRank算法。它最初来自斯坦福学院和雅虎的联合以为。,用于检测垃圾网站。TrestRANK算法的工作规律:率先,人工控制识别高大规模的翻书页(即种子页)。,由种子页引导的翻书页也可以是单独高大规模的的翻书页。,执意说,它的Tr值也很高。,挽住从种子翻书页越远。,翻书页的TR值越低。。种子页可以选择更多挽住的翻书页。,可选地,具有较高PR值的网站也是可用的。。

TrestRANK算法给出了每个网页的TR值。。将PR值与TR值相结合。,你可以更正确地判断网页的本性。。


7. 写在限量的

谷歌应用PR值对网页举行归类。,有0~10级,普通4或下是好主页。。谷歌自己的公关价是9。,百度也是9。,博客园公关的价则为6。

如今,公关价已经不像以前这么要紧了。、广告挽住和功能挽住导致公关本身的价,对新网页不友好。,但PR仍然是交通交易中非常要紧的参考因素。。

限量的,有单独图形网站,为PageRank提供动态图表。:点我。

最近,博客花园对标记语法的支持率不高。。倘若态度不完整,,你可以在这里看到。。

参考资料

1:这是搜索引擎。:谷粒技术详解,张俊林

2:PageRank产生于那一年的论文:The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web

3:维基百科PageRank

4:PageRank算法简介及Map-Reduce实现

5:博客谷歌背后的数学,陆长海

6背后的数学:博客PageRank

7:PageRank算法

8:MapReduce规律与设计思惟

9:应用 MapReduce to compute PageRank

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